Ερωτήσεις με ιδιαίτερο ενδιαφέρον


 

 

Λογαριθμικός κανόνας

 

Ερώτηση: Μπορούν οι μαθητές να χρησιμοποιούν χωρίς απόδειξη ότι η γραφική παράσταση μιας κυρτής ή κοίλης συνάρτησης με ασύμπτωτη στο + ή - είναι πάνω ή κάτω αντίστοιχα από την ασύμπτωτη;

Απάντηση:

Οι μαθητές αντιλαμβάνονται διαισθητικά ότι αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι κυρτή ή κοίλη σε κάποιο διάστημα της μορφής (-, β) ή (α, +) και η γραφική της παράσταση έχει ασύμπτωτη στο - ή στο + αντίστοιχα, τότε η ασύμπτωτη αυτή αποτελεί οριακή ευθεία των εφαπτομένων της Cf στο αντίστοιχο διάστημα, δηλαδή όταν το x τείνει στο - ή στο + αντίστοιχα, τότε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο (x, f(x)) τείνει να ταυτιστεί με την ασύμπτωτη. Έτσι λοιπόν στο ίδιο διάστημα όποια είναι η σχετική θέση της Cf με κάθε εφαπτομένη θα είναι και η σχετική θέση της Cf με την ασύμπτωτη (μόνο κοινό σημείο δεν θα έχουν). Περισσότερα...

 

 

Ερώτηση: Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο xo και η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο g(xo), τότε η fog είναι παραγωγίσιμη στο xo;

Απάντηση:

Στο σχολικό βιβλίο αναφέρεται το θεώρημα:
"Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο xo και η f είναι παραγωγίσιμη στο g(xo), τότε η συνάρτηση fog είναι παραγωγίσιμη στο xo."
Από την Μαθηματική Λογική είναι γνωστό ότι αν μία πρόταση p συνεπάγεται μία πρόταση q, τότε η άρνηση της p δεν συνεπάγεται κατ’ ανάγκη την άρνηση της q. Έτσι λοιπόν αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο xo και η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο g(xo), τότε η συνάρτηση fog μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο xo μπορεί όμως και να μην είναι. Αυτό φαίνεται καθαρά στα δύο παραδείγματα που ακολουθούν. Περισσότερα...

 

 

Ερώτηση: Γιατί η τιμή της παράστασης ΟΡ2 - R2 ονομάζεται δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο (Ο, R);

Απάντηση:

Η δύναμη ενός σημείου Ρ ως προς έναν κύκλο (Ο, R) είναι μία σημαντική έννοια της Γεωμετρίας. Δεν έχουμε παρά να αναλογιστούμε την πληθώρα και την ποικιλία των σχετικών ασκήσεων καθώς και τις σημαντικές εφαρμογές της. Για να απαντηθεί το παραπάνω ερώτημα πρέπει να δούμε τη χρήση και την εξέλιξη του όρου «δύναμη» στα Μαθηματικά.  Περισσότερα...

 

 

Ερώτηση: Πότε μία συνάρτηση 1-1 είναι αναγκαία και γνησίως μονότονη;

Απάντηση:

Στο σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου στη σελίδα 153 αναφέρεται ότι ισχύει η πρόταση: "αν μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι 1-1" και στη συνέχεια με ένα αντιπαράδειγμα αποδεικνύεται ότι δεν ισχύει γενικά το αντίστροφο, δηλαδή "μία συνάρτηση 1-1, δεν είναι κατ’ ανάγκη γνησίως μονότονη".
Τίθεται λοιπόν το ερώτημα: Με ποιες προϋποθέσεις μία συνάρτηση 1-1 είναι αναγκαία και γνησίως μονότονη; Περισσότερα...

 

 

Ερώτηση: Μπορούμε να χρησιμοποιούμε το σύμβολο της νιοστής ρίζας και για μιγαδικούς αριθμούς;

Απάντηση:

Θεωρώ πως στο σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας της Α΄ Λυκείου υπάρχει μια σύγχυση σχετικά με τον ορισμό της νιοστής ρίζας ενός μη αρνητικού πραγματικού αριθμού και τη χρήση του συμβόλου ...
Το σύμβολο πρέπει να έχει συναρτησιακό χαρακτήρα δηλαδή μονοσήμαντο αποτέλεσμα, ώστε να μπορεί να χρησιμοποιείται και σε παραστάσεις. Περισσότερα...

 

 

Ερώτηση: Δύο ευθείες που ταυτίζονται θεωρούνται παράλληλες;

Απάντηση:

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία η έννοια της παραλληλίας δύο ευθειών αναφέρεται ρητά για διακεκριμένες ευθείες (δείτε Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου, σελ. 180 και βιβλίο Ευκλείδειας Γεωμετρίας Α΄ και Β΄ Λυκείου, § 4.1). Δηλαδή, στην Ευκλείδεια Γεωμετρία δύο ευθείες ενός επιπέδου λέγονται παράλληλες εάν δεν έχουν κοινό σημείο, οπότε δύο ευθείες που ταυτίζονται δεν θεωρούνται παράλληλες. Περισσότερα...

 

 

Ερώτηση: Γιατί να μη λύνουμε και τις άρρητες εξισώσεις με τη διαδικασία των ισοδύναμων εξισώσεων;

Απάντηση:

Κατά την επίλυση μιας άρρητης εξίσωσης στην Άλγεβρα της Β΄ Λυκείου αρχικά πρέπει να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της. Με απλά λόγια να θέτουμε τους περιορισμούς για τη μεταβλητή. Μία τέτοια εξίσωση στην ουσία είναι ένας προτασιακός τύπος με μία μεταβλητή και με κατηγόρημα τη σχέση της ισότητας. Πρέπει λοιπόν να γνωρίζουμε και το σύνολο αναφοράς ή πεδίο ορισμού αυτού του προτασιακού τύπου. Περισσότερα...

 

 

 

Copyright © 2009-2016